控制系统类型

前言:在上一篇文章中,讨论了反馈系统的分析,但是反馈系统到底可以容忍什么信号,在什么范围内可以做到系统稳定、无误差?

系统输入类型(多项式)

已知基础多项式元式的拉普拉斯变换

$$
\frac{t^k}{k!}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{s^{k+1}}
$$

  1. 位置输入(“0”型)

    当多项式的最高阶为次数k=0时,也就是系统的输入是常数时(时域上看为单位阶跃信号)Laplace变换为:

    $$
    Cu(t) \leftrightarrow C\frac{1}{s}
    $$

    也就是说输入一个频域上一阶的信号相当于输入一个常量(理解为固定位置)

  2. 速度输入(“1”型)

    当多项式次数k=1时(时域上看为单位斜坡信号)
    $$
    Ct\cdot u(t)\leftrightarrow C\frac{1}{s^2}
    $$
    注意物理学里对(输入)常量速度的积分,就是一次多项式,所以叫做速度输入

  3. 加速度输入(“2”型)

    同理,物理学中对常量加速度的积分得到位置,是二次多项式,所以叫做加速度输入
    $$
    Ct^2\cdot u(t) \leftrightarrow C\frac{1}{s^3}
    $$

  4. 更高阶

反馈系统框图

闭环反馈

依旧采用反馈系统分析中的基本反馈框图,进行讨论

反馈系统稳定输入类型

在上一篇文章中,分析出反馈系统的误差方程为

$$
E=\frac{1}{1+GD}R=SR
$$

系统的输入信号为多项式时,即

$$
r=\frac{t^k}{k!}u(t)
$$

由终值定理可得稳定状态误差为

$$
\lim_{t\to \infty} e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s)=\lim_{s\to 0}s\frac{1}{1+GD}\frac{1}{s^{k+1}}
$$

0型系统

当系统输入为阶跃信号(0型信号)时

$$
e=\lim_{s\to 0}s\frac{1}{1+GD}\frac{1}{s}=\frac{1}{1+GD(0)}
$$

所以,当闭环增益GD在原点处没有极点时,定义系统的位置误差常数

$$
K_p=GD(0)
$$

系统误差为

$$
e=\frac{1}{1+K_p}
$$

该系统即为0型系统,只能跟踪0阶多项式。若输入是一阶或更高阶的信号,那么该系统将无穷发散(不稳定)

n型系统

沿引1型系统的计算,假若GD在原点处有n阶极点

$$
\exist T(s),\lim_{s\to 0} T(s) = K_n < \infty \\
GD=\frac{T(s)}{s^n}
$$

系统有几个积分器,也就相当于n有多少阶,从电路层面很好理解

那么对于多项式输入,有稳态误差为

$$
e=\lim_{s\to 0}s\frac{1}{1+\frac{T(s)}{s^n}}\frac{1}{s^{k+1}} = \frac{s^n}{s^n+K_n}\frac{1}{s^k}
$$

从上式中可总结出,对于n型系统对输入的跟踪误差情况为

$$
\begin{matrix}
n>k, & e=0 \\
n=k=0, & e=\frac{1}{1+K_n} \\
n=k\neq 0, & e=\frac{1}{K_n} \\
n<k, & e\to \infty
\end{matrix}
$$

一般反馈系统

已知系统的闭环传递函数为

$$
\frac{Y(s)}{R(s)}=T(s)
$$

所以误差函数为

$$
\frac{E(s)}{R(s)}=1-T(s)
$$

输入一个k阶多项式信号,那么稳态误差为

$$
e=\lim_{s\to 0} s\frac{1-T(s)}{s^{k+1}}
$$

反馈系统的稳定误差校正类型

定义的方法同输入稳定类型,对n阶干扰输入导致稳态误差为常数,系统就是n型校正系统

假设系统的参考输入信号为0,则系统的干扰-误差传递函数为

$$
\frac{E(s)}{W(s)}=T(s)
$$

若在原点存在n阶零点

$$
T(s)=s^n\cdot T_0(s)\\
T_0(s)=\frac{1}{K_n}
$$

则系统对于k次多项式的干扰输入信号,稳态误差为

$$
e=\lim_{s\to 0} sT(s)\frac{1}{s^{k+1}}=\lim_{s\to 0}T_0(s)\frac{s^n}{s^k}
$$

Truxal误差常数计算公式

该方法仅适合于计算1型系统的速度误差常数(1型常数)

一个1型系统的闭环传递函数为

$$
T=K\frac{\prod^m_{i=1}(s-z_i)}{\prod^n_{i=1}(s-p_i)}
$$

首先给出结论,系统的速度误差常数有

$$
\frac{1}{K_v}=-\sum^n_{i=1}\frac{1}{p_i}+\sum^m_{i=1}\frac{1}{z_i}
$$

显然极点的半径越大,则速度常数越大

Truxal公式推导

由于1型系统对阶跃输入信号(0型)的误差为0,所以

$$
T(0)=1
$$

对单位斜坡输入的误差为

$$
E(s)=\frac{1-T(s)}{s^2}
$$

单位斜坡输入有稳态误差为

$$
e=\lim_{s\to 0}\frac{1-T(s)}{s}=-\lim_{s\to 0}\frac{dT(s)}{ds}=\frac{1}{K_v}
$$

由上推出的传递函数零点值可得

$$
\frac{1}{K_v}=-\lim_{s\to 0}\frac{dT(s)}{ds}\frac{1}{T(s)}=-\lim_{s\to 0}\frac{d}{ds}[\ln T(s)] \\
= -\lim_{s\to 0}\frac{d}{ds}[\ln (K\frac{\prod^m_{i=1}(s-z_i)}{\prod^n_{i=1}(s-p_i)})]=-\sum^n_{i=1}\frac{1}{p_i}+\sum^m_{i=1}\frac{1}{z_i}
$$

参考书目

  • 《Feedback Control of Dynamic System Sixth Edition》——Gene F.Franklin[美]
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