固定翼飞行器动力学分析

前言:固定翼飞行器相对多旋翼飞行器具有载荷大、航程远等特性,在B端、C端、M端皆占大半江山。此次新年之际,笔者亲手搭建了一台性价比较高的“冲浪者”,并且尝试一下午就成功使用日本手首飞成功,有些玩航模的朋友夸俺天赋好😆但这其实离不开笔者在上手之前学习的固定翼相关空气动力学,所以个人认为很有必要记录一下,以便日后其他小伙伴借鉴快速入门

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机翼的空气动力特性

为了方便分析,一般取机翼的切面形状进行空气动力学计算,即翼型。

翼型概念

下图为几种常见的翼型,在不同用途的飞行器上有着各自的优势,具体我们留到下方常见翼型特性一节讲解分析。

各种翼型

笔者玩的冲浪者主机翼显然采用的是超临界型翼型设计,下图展示的为将机翼拆下后翅根处的截面。(都这么努力了😁是不是要扫描文末的二维码请咖啡呀☕)

冲浪者翼型

接下来,对翼型进行理论分析,介绍各项重要参数以及升力计算方法。图中,贯穿中央的水平直线名为展弦;还有一根从前缘到后缘,贯穿内切圆圆心的线名为中弧线;翼型的上包实线名为上弧线;翼型的下包实线名为下弧线;其他关键机械设计参数皆标于图上。

机翼参数

设计参数可引出以下参数:

  • 相对弯度:表示翼型的不对称程度,现代飞机的相对弯度为0~2%
    $$
    \overline{f} = \frac{f_{\max}}{c_w} \times 100%
    $$
  • 最大弯度位置
    $$
    \overline{x_f} = \frac{x_f}{c_w} \times 100 %
    $$
  • 厚弦比:翼型的最大厚度与翼弦的比值,现代飞机参数范围一般3~16%,超声速采用厚弦比较小的薄翼,低速飞机用参数较大的厚翼
    $$
    \overline{c} = \frac{c_{\max}}{c_w} \times 100%
    $$
  • 最大厚度位置:该参数同采用相对翼弦的表示法,现代飞机参数范围一般30~50%,亚声速25~30,超声速40~50%
    $$
    \overline{x_c} = \frac{x_c}{c_w} \times 100 %
    $$

还有一个重要的实时参数名为迎角,如下图所示为吹来的气流与机翼的夹角,该参数有正负,一般取翼弦方向为0。正如接下来的计算过程展现的,该参数将极大地影响飞机的升力,并且飞行时大多数工作于正迎角状态。

迎角

我们将使用到最简单的伯努利原理

$$
p_1+\frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = p_2+\frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2
$$

NOTE⚠:伯努利方程只能用在粘度忽略、不可压缩的理想流体,所以基于此的分析只能用在低速飞行,超声速飞行后面专门讲解

升力原理

由于机翼一般较薄,所以如上图所示的流管,在远处来流与翼上切面有关系:
$$
p_\infty + \frac{1}{2} \rho_\infty v^2_\infty = p +\frac{1}{2} \rho v^2
$$

整理:

$$
p-p_\infty = \frac 12 \rho_\infty v^2_\infty - \frac{1}{2} \rho v^2
\\
\frac{p-p_\infty}{\frac 12 \rho_\infty v^2_\infty} = 1-\frac{\rho v^2}{\rho_\infty v^2_\infty}
$$

低速飞行时,密度变化不明显;且根据连续性方程。得到压力系数表示:
$$
\because \rho \simeq \rho_\infty , v_\infty \cdot S_\infty = v \cdot S
\\
\therefore \overline{p} = \frac{p-p_\infty}{\frac 12 \rho_\infty v^2_\infty} \simeq 1-\frac{v^2}{v^2_\infty} = 1-(\frac{S_\infty}{S})^2
$$

重要结论:压力系数只与流管切面积有关,而流管的情况可以通过烟线风洞实验获知。

则此时可以将机翼上表面需要求解的点的压力表示为:

$$
p_{上} = p_\infty + \frac12 \rho v^2_\infty\overline{p}_{上}
$$

下表面表示为:

$$
p_{下} = p_\infty + \frac12 \rho v^2_\infty\overline{p}_{下}
$$

则某个翼型受升力为:

$$
L(b) = \int_0^{c_w} ( p_{下} - p_{上}) \cdot dx
= \int_0^{c_w} \frac12 \rho v^2_\infty ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上} ) \cdot dx
$$

那么想要得到整个机翼受到的升力,在沿翼展方向(垂直于翼型)作积分即可:

$$
F = \int_0^{b_w} L(b) \cdot dy = \int_0^{b_w} \int_0^{c_w} \frac12 \rho v^2_\infty ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot dx \cdot dy
$$

总结一下:要设计出一个好的机翼,首先要先搞到每个点的压力系数,然后作二维积分;还有:

  1. 若飞行器在太空中,没有介质(密度0),无法获得升力;
  2. 若飞行器相对介质(空气)速度为0,也无法获得升力;
  3. 机翼越大(面积越大),获得的升力越大,所以滑翔机等最求续航的飞行器一般机翼很大;
  4. 机翼获得的不一定就是朝机翼向上力!非常显然迎角不同时,力的方向可能是升力也是压力。一般正迎角是升力,但还有特殊情况,比如下面将讲到的失速以及飞机倒飞(压力变升力)

机翼平面形状

上面算的升力公式要作二维积分,对下图所示的各种奇怪形状的机翼来说简直是计算灾难。

机翼平面形状

在简化计算之前,先介绍几个用来定义机翼平面形状的参数:

  • 机翼面积$S$:机翼垂直投影面积大小
  • 翼展$b_w$:机翼最左翼尖到最右翼尖之间距离
  • 平均翼弦
    $$
    c_w = \frac{S}{b_w}
    $$
  • 展弦比$\lambda$:翼展$b_w$与平均翼弦$c_w$之比,现代歼击机范围2~5,轰炸机、运输机7~12,滑翔机12~16
  • 根尖比$\eta$:机翼根部(靠近机身)的翼弦$c_g$于位于翼尖处翼弦$c_s$之比
  • 后掠角$\chi$:这个参数常见于讨论一些外型炫酷的后掠翼现代飞机,具体吧又有很多种后掠角,比如下图中标有的前缘后掠角$\chi_0$,1/4弦线后掠角$\chi_{0.25}$,后缘后掠角$\chi_1$
  • 平均空气动力弦$c_A$:对后掠翼这种从翼根到翼尖一直在变化的形状计算升力,简直是灾难,所以人们定义了该参数,假设存在一个等效的矩形机翼(等效要求:面积相同、俯仰力矩相同、气动力合力相同)。这样呢,一次设计,多次使用,不然风洞一吹多贵啊,超算一开更贵

机翼形状参数

升力系数

有了平均空气动力弦,原本升力公式就可以简化为:

$$
F = \frac12 \rho v^2_\infty c_A \int_0^{c_w} ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot dx
\\
\overset{\overline{x}=\frac{x}{c_w}}{=}
\frac12 \rho v^2_\infty c_A c_w \int_0^{1} ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot d\overline{x}
$$

所以我们提出升力系数:

$$
C_L = \int_0^{1} ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot d\overline{x}
$$

再用等效机翼面积替换$c_A c_w$,得到:

$$
F = C_L \cdot \frac{1}{2} \rho v^2_\infty S
$$

这样嘞,就可以为移植机翼提供一个参考了。比如同一款机翼,缩放后升力系数是一样的。并且,我们可以测定绘制出下图所示的升力系数随迎角变化的规律,$\delta$是襟翼角度。

升力系数曲线

这里注意几个一般性原则:

  • 迎角不大时,升力系数与迎角成线性关系
    $$
    C_L = k(\alpha - \alpha_0)
    $$
  • 迎角较大时,升力系数导数随迎角增大开始减小
  • 迎角越过某个临界迎角时,升力系数导数开始变为负

还有几个关键的参数:

  • 零升力迎角$\alpha_0$:不同翼型该参数不同,与相对弯度参数相关性很大,对称翼型的$\alpha_0 = 0$
  • 临界迎角$\alpha_{临}$与对应的$C_{L-\max}$:主要与相对弯度、最大弯度位置、厚弦比、前缘半径有关

失速

  1. 小迎角时:机翼上表面最低压力点靠后,涡流区小
  2. 逐渐增大迎角:最低压力点前移,涡流区扩大
  3. 迎角增大至临界迎角:分离点急速前移,涡流区急剧扩大,气流贴着机翼表面稳定流动被破坏
  4. 继续增大迎角:升力降低+阻力急剧增大,飞机剧烈抖动,高度快速下降,前进速度锐减(特别离谱的会坠入螺旋)

所以,失速迎角就是临界迎角。

翼尖涡流

如下图所示,机翼正常工作时,下表面的压力大于上表面的压力,所以气流会绕过翼尖流到上表面,形成了翼尖涡流。

涡流产生原理

下图所示,是大型客机降落时产生的涡流。所以机场的飞机起飞和降落时,机与机之间需要等待一段时间,直至上一架产生的涡流衰减至不影响安全飞行。

大型客机涡流

同样的,冲浪者的机翼设计也是充分考虑到了翼尖涡流,做成两边翘起的形状,这样可以较好地减小涡流作用带来的诱导阻力。

冲浪者翼尾

副翼与襟翼

冲浪者的主机翼控制较为简单,只有靠近翅膀端点处的副翼(提供横滚控制)。而复杂的现代飞行器,如下图一般由副翼、襟翼、扰流板等构成。

机翼构成

为了提供较大的横滚力矩($\vec T = \vec F\times \vec l$),所以副翼一般设置在靠近主机翼外侧;而襟翼(下图所示各种常见结构)是为了在降落或起飞时提供大的升力,而又不产生影响稳定性的力矩,所以一般靠近内部;扰流板从结构上来看,方向与襟翼相反,所以在降落的时候打开,可以抵消大量升力,同时又提供了大量阻力,使得减速更快。

各种襟翼

常见翼型特性

推荐一个软件:profili,这里面有很多大组织开源的翼型参考设计。

这玩意我也还在琢磨中,因为论文上说超临界翼型超声速性能更好(激波少),但是冲浪者是属于滑翔机类型,所以笔者后续边玩边学,搞清楚了再写哈😄

固定翼飞行控制原理

在开始之前,我们先补充一下常规飞机的尾部控制结构,如下图分别是:

  1. 方向舵:位于垂直尾翼(对称翼型)上,控制飞行器的左右偏转
  2. 升降舵:位于水平尾翼(不一定是对称翼型)上,控制飞行器抬头和低头

机尾结构

如下图所示,当升降舵向下偏转时,产生向上的升力,此时相对飞机的重心来说提供的力矩使飞机低头;当升降舵向上时,同理受力,飞机抬头。这里注意,左右升降舵是同向运动的(如果左右平尾升力不同,会给飞机一个横滚力矩,并且是多少会出现的)。

升降舵

下图所示是方向舵工作原理,舵面左偏(从机身后向前看)则垂尾压力向右,到飞机的重心产生的力矩使飞机整体向左转;同理,舵面右偏,飞机右转

方向舵

横滚舵,就是主机翼的副翼,之前已经说过原理不再赘述。需要值得一提的是,根据网友经验以及笔者亲测,对于冲浪者这类飞行器来说,打方向舵效果在低速的时候转向效果不明显,如果需要大幅度地回旋,建议采用:

  1. 往预偏转方向横滚机身,使原本朝上的升力倾斜(可分解为水平的向心力和垂直的部分升力)
  2. 理论上此时升力必定比原本小,所以操作升降舵抬高机头,获得更多的升力;或者适当加大油门

横滚舵

高速飞行特性

为了不误人子弟,研究透了再补充这一部分。并且玩航模一般也玩不到声速吧

参考文献

  • 李国辉. 飞行原理与仿真建模.北京理工大学出版社.
  • 刘子敬. 超临界翼型优化设计关键技术研究[D].南京航空航天大学,2018.DOI:10.27239/d.cnki.gnhhu.2018.000265.
  • 陆超. 翼型改型对超临界翼型气动性能影响的研究[D].沈阳航空工业学院,2009.
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