速通材料力学

基本概念和术语

• 构件/零件：组成机械与结构的各组成部分

• 保证构件正常或安全工作的条件：

  • 强度（在外力作用下抵抗塑性变形和断裂的能力），对应应力，单位Pa
    对应的实验测试方法
    • 拉伸实验——拉伸强度、屈服强度、抗拉强度（tensile strength）
    • 三点弯曲实验——抗弯强度（Shear strength）
    • 压缩实验——抗压强度（compression strength）
  • 刚度（Stiffness）（受力时抵抗弹性变形的能力），对应应变
  • 硬度（金属材料抵抗更硬的物体压入其内的能力），属于表面特征。硬度定义方式包括：
    • 刻划硬度（Scratch hardness）
    • 压入硬度（Indentation hardness）
    • 回弹硬度（Rebound hardness，动态硬度dynamic hardness，或绝对硬度）

• 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件

• 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同

• 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。

• 各向异性假设：各个方向的力学性能不同。

• 内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力

  • 应力的积分，可以算内力
  • 内力的分类：轴力，剪力，扭矩，弯矩
  • 单位：N

• 应力：单个点的力特征，单位是Pa

• 变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。

  • 弹性变形：外力解除后能消失的变形
  • 塑性变形/残余变形：外力解除后不能消失的变形

    在材料力学里，所有材料都会变形

• 应变：变形的程度，无量纲

  • 线应变
    $$
    \epsilon = \Delta L / L
    $$
  • 切应变

• 材料的应力-应变曲线
  

  如上图是低碳钢拉伸时的应力应变曲线。可以分为四个阶段：

  • 弹性阶段。这里当应力小于比例极限 $\sigma _p$ 时，应力应变服从胡可定律：$\sigma = E \epsilon$，常系数$E$为材料的杨氏弹性模量。
  • 屈服阶段
  • 强化阶段
  • 局部变形阶段

• 塑性材料与脆性材料

  • 评价指标：断后生长率$\delta=\Delta l / l_0 \times 100%$
  • 脆性材料：$\delta < 5%$
  • 塑性材料：$\delta > 5%$
  • 判断材料失效的方法：塑性材料发生塑性变形，脆性材料断了

• 卸载定律：如果拉伸达到强化阶段，样品开始卸载，那么弹性部分将服从胡可定律恢复，而塑性变形的应变将保留。

• 冷作硬化：冷作的意思就是金属材料在结晶温度以下的低温环境，受加工产生大量塑性变形，使表层的晶粒拉长、晶格畸变，实现材料表面的硬度增加。

• 名义屈服极限$\sigma_{0.2}$：对于没明显屈服阶段的材料，工程上常以卸载后残余应变为0.2%的应力作为屈服强度

• 压缩与拉伸的关系：

  • 塑性材料的拉伸和压缩性能相同；
  • 脆性材料压缩时的强度极限远高于拉伸的强度极限，抗压性远远抗拉性

• 许用应力：构件工作时允许的最大应力值$[\sigma] = \sigma_u/n$

  • n是安全因数
  • $\sigma_u$是极限应力：塑性材料取屈服极限$\sigma_s$或$\sigma_{0.2}$，脆性材料取强度极限$\sigma_b$或$\sigma_{bc}$

• 泊松比$\mu=-\epsilon’/\epsilon$，表示材料横向的应变$\epsilon’$与轴向受拉压产生应变的比。这是材料的常数，对于各向同性材料，$0<\mu<0.5$

• 变形满足（线性时不变）叠加原理：几组载荷同时作用的总效果，等于各组载荷单独作用产生的效果的和。

  条件：材料是线弹性的，或者小变形

• 应力集中：因杆件外形突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象

  • 理论应力集中因数：$K= \frac {理论应力集中因数\sigma_{max}}{ 截面平均应力\sigma }$

• 圆轴扭转时横截面上的内力和应力，用扭矩$T$表示(方向以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正)

• 切应力互等定理：在两个相互垂直的面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向为共同指向或共同背离该交线。
  

• 剪切胡克定律：$\tau = G\cdot y$

  • G为剪切弹性模量，且和其他常数有：$G=\frac E {2(1+\mu)}$

• 圆轴扭转时横截面上的应力：$\tau_\rho = \frac {T\rho}{I_p}$

  • $\rho$是距轴线的径向距离
  • $I_p=\int_A\rho^2dA$
  • 横截面上任一点切应力大小与该点到圆心的距离成正比
  • 且最大应力点在圆截面边缘上：$\tau_{max}=T/W_t$，其中$W_t=I_p/R$为抗扭截面系数

• 圆轴扭转变形与刚度条件

  • 扭转角$\phi = \frac {Tl}{抗扭刚度GI_p}$
  • 单位长度扭转角$\phi’=\phi/l=T/{GI_p}$
  • 许用单位长度扭转角$[\phi’]> \phi’$

• 弯曲内力：杆件弯曲时有两个内力，剪力FS，弯矩M

  • 在集中力作用的地方，剪力图有突变，外力F向下，剪力图向下变，变化值=F值；弯矩图有折角
  • 在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩图有突变，Me顺时针转，弯矩图向上变（朝增加方向），变化值=Me值
  • 在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物线开口向下。抛物线的极值在剪力为零的截面上

• 弯曲应力

  • 中性层和中性轴的概念：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维称中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴通过截面形心
    
  • 横截面上弯曲正应力：横截面上弯曲正应力沿截面高度直线变化，与该点到中性轴的距离成正比，中性轴上为零
    • 正应力公式：$\sigma=My/I_z$
    • 最大正应力发生在离中性轴最远的边缘
  • 矩形截面梁弯曲切应力$\tau=\frac{F_sS_z}{I_zb}$。强度沿截面高度按抛物线分布，最大切应力在中性轴上

• 弯曲变形

  • 梁的横截面形心沿竖直方向的位移w称为挠度
  • 变形后的轴线称为挠曲线。梁横截面对其原来位置转过的角度θ称为转角。在工程问题中，梁的转角一般很小，挠曲线是一条非常平坦的曲线，所以$\theta\approx dw/dx$

    对弯曲变形的计算略，毕竟笔者不专业搞材料，只是用来计算机仿真

• 强度理论：关于“构件发生强度失效起因”的假说，利用简单应力状态实验结果，建立复杂应力状态强度条件

  • 两类破坏形式：脆性断裂和塑性屈服，因此有两类强度理论，断裂强度理论和屈服强度理论
  • 四种常用强度理论：
    • 最大拉应力理论（第一强度理论）
    • 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
    • 最大切应力理论（第三强度理论）
    • 畸变能密度理论（第四强度理论）