控制系统稳定性

前言：对所有的控制系统设计来说，系统的稳定是最基础也最有必要的指标，一个不稳定的系统是毫无用处的。本文将从理论层面，从最基础的极点稳定性，讨论到各种稳定系统分析判据

系统极点的影响

首先考虑一个最简单的一阶系统

$$
H(s)=\frac{1}{s+\sigma}
$$

在实际世界中，这必是一个右边信号，所以时域表达为（这是一个非常充要的变换对）

$$
h(t)=e^{-\sigma t}\cdot u(t)
$$

显然，从上式可观察出，当极点实部小于零时，该表达式收敛，否则该表达式将无穷发散。

也就是说，在s平面上，稳定系统的极点必须在左半平面

复数极点

一般来说，复数极点都是成共轭对出现的

$$
s=-\sigma \pm j\omega_d
$$

则传递函数分母为

$$
a(s)=(s+\sigma-j\omega_d)(s+\sigma+j\omega_d)=(s+\sigma)^2+\omega_d^2
$$

一般形式下的传递函数为

$$
H(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}
$$

对比多项式有：

$$
\sigma = \xi\omega_n,\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2} \\
阻尼比\xi，固有频率\omega_n
$$

若重写上式

$$
H(s)=\frac{\omega_n^2}{(s+\xi\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\xi^2)}
$$

则系统的脉冲响应为

$$
h(t)=\frac{\omega_n}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\sigma t}(\sin\omega_d t)\cdot u(t)
$$

系统零点的影响

首先，使用零极点图，就可以发现，相同位置的零点可以抵消极点带来的影响。下面使用分式展开的方式来讨论

对于一个双极点无零点系统

$$
H_1(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}
$$

若添加一个零点，并且保持DC增益不变（注意这个零点很靠近一个极点）

$$
H_2(s)=\frac{s+1.1}{1.1(s+1)(s+2)}=\frac{1}{1.1}(\frac{0.1}{s+1}+\frac{0.9}{s+2})
$$

则从上例中，分式拆分就可发现零点的本质作用是改变极点的增益系数。且靠近目标极点的零点，可使该极点的作用被大大削弱

当然，这并不代表真的可以用一个零点去消除一个极点的不稳定性，首先现实生活中的各种系统都不是稳定的，只要稍微变化，零极点不重合，那么这还是一个不稳定的系统

稳定系统

输入输出有界稳定

有界信号输入系统，获得一个有界输出

对于LTI系统来说，最简单的判据为，冲激响应绝对可积

$$
\int^\infty_{-\infty} |h(\tau)|d\tau < \infty
$$

劳斯判据

设n阶系统的特征方程为：
$$
a(s)=s^n
+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+\cdots+a_{n-1}s+a_n
$$

从上对极点的讨论中可知，若一个系统是稳定的，那么所有根都应该有负实部，那么

系统稳定的一个必要不充分条件为特征多项式的所有系数为正

若方程中有系数为零或为负，那么该系统就在LHP外存在极点，也就是不稳定。当上条件满足时，就可以进一步确定是否稳定（注意上面逻辑是不充分）

Routh提出的矩阵判断方法为：

1. 将特征多项式系数分为两行

   $$
   \begin{matrix}
   s^{n} &:& 1 & a_{2} & a_{4} & \cdots \\
   s^{n-1} &:& a_{1} & a_{3} &a_{5} & \cdots
   \end{matrix}
   $$

2. 依次添加计算剩余整列元素

   $$
   \begin{matrix}
   n行: & 1 & a_2 & a_4 &\cdots \\
   n-1行: & a_1 & a_3 &a_5 & \cdots \\
   n-2行: & b_1 & b_2 & b_3 &\cdots \\
   n-3行: & c_1 & c_2 & c_3 &\cdots \\
   \vdots & \vdots & \vdots &\vdots \\
   1行: & \cdots \\
   0行: & \cdots
   \end{matrix}
   $$

   元素计算规律:

   $$
   b_1 = -\frac{1}{a_1} \cdot \det\begin{bmatrix}
   1 & a_2 \\
   a_1 & a_3
   \end{bmatrix} \\
   b_2 = -\frac{1}{a_1} \cdot \det\begin{bmatrix}
   1 & a_4 \\
   a_1 & a_5
   \end{bmatrix} \\
   b_3 = -\frac{1}{a_1} \cdot \det\begin{bmatrix}
   1 & a_6 \\
   a_1 & a_7
   \end{bmatrix} \\
   c_1 = -\frac{1}{b_1} \cdot \det\begin{bmatrix}
   a_1 & a_3 \\
   b_1 & b_2
   \end{bmatrix} \\
   c_2 = -\frac{1}{b_1} \cdot \det\begin{bmatrix}
   a_1 & a_5 \\
   b_1 & b_3
   \end{bmatrix} \\
   c_3 = -\frac{1}{b_1} \cdot \det\begin{bmatrix}
   a_1 & a_7 \\
   b_1 & b_4
   \end{bmatrix} \\
   \vdots
   $$

3. 当且仅当矩阵的第一列全为正，系统稳定

4. 若不全为正，那么第一列符号变化几次，在RHP中的根就有几个

劳斯判据除了能对已知传递函数进行稳定性判断，也能用于对含参传递函数定量计算稳定的参量范围

劳斯判据的特殊情况：

1. 某一行（也仅允许一行）的首元素为0，则可将该元素用变量替换，最后用极限求
2. 某一行全为0，这种情况下，表示关于虚轴存在镜像对称的共轭根